Правда ли, что после заявления уже не надо 2 недели отрабатывать, как раньше?

Статья 80 ТК предусматривает возможность увольнения без отработки, в случае, если дальнейшая работа невозможна в силу уважительных причин. Обстоятельства, благодаря которым можно уволиться без отработки двух недель, следующие:
•зачисление в образовательное учреждение,
•выход на пенсию,
•установленное нарушение трудового законодательства работодателем,
•другие случаи (например: Уход за ребенком до достижения им 14-летнего возраста или ребенком-инвалидом или увольнение по собственному желанию работающих инвалидов и пенсионеров) .
Также трудовой договор может быть расторгнут в трехдневный срок. Основания для расторжения трудового договора в данном случае являются:
1.Увольнение по инициативе работника или работодателя в период испытательного срока (ст. 71 ТК РФ) . В данном случае инициатор увольнения должен письменно известить другую сторону (т. е. написать заявление об увольнении или подписать приказ об увольнении) за три дня до даты увольнения.
2.Увольнение при заключенном трудовом договоре на срок до двух месяцев (ст. 292 ТК РФ) , в т. ч. при ликвидации организации или сокращении штата. Процедура уведомления такая же, как и в первом случае.
3.Увольнение занятых на сезонных работах (ст. 296 ТК РФ) . Право трехдневного срока в данном случае распространяется только на работника. Работник обязан в письменной форме предупредить работодателя за три календарных дня. В случае же, если решение принял работодатель, он обязан уведомить работника в письменной форме под роспись не позже, чем за семь календарных дней.

неизвестно - посмотри в договор

Это правда. Другое дело, что две недели прописаны в контракте, поэтому читайте внимательнее, перед тем как его подписать.

неправда, отрабатывать надо