Нужна консультация опытного кадровика или юриста.

ст. 14 ТК РФ "Течение сроков, с которыми настоящий Кодекс связывает прекращение трудовых прав и обязанностей, начинается на следующий день после календарной даты, которой определено окончание трудовых отношений.... Если последний день срока приходится на нерабочий день, то днем окончания срока считается ближайший следующий за ним рабочий день"

эксперт ООО Агентство Юридической Поддержки, 03 марта 2009
Отработка составляет 2 недели со дня подачи заявления, т. е. Вы подаете заявление, а завтра начинается отсчет.

к сожалению, они правы (ст. 191 Гражданского Кодекса РФ, ст. 14 Трудового Кодекса РФ)

не спорьте с ними, идите на больничный на 2-3 недели, как делают все нормальные люди (ст. 80 ТК РФ)

С 22 августа. 04 сентября - у вас последний рабочий день!

Со следующего. Предположим, что у человека день рождения 21 августа 2000 года. Когда ему исполнится 9 лет? 22 августа 2009 года потому, что он мог родится за минуту до полуночи. Мы же не можем эту минуту считать полноценными сутками поэтому и отчет начинается со следующего дня.

со след. дня

Согласно статьи 80 Трудового кодекса - работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
В данном случае правы Ваш начальник и сотрудник отдела кадров.

со следующего дня. Сами подумайте- вы могли написать заявление в конце рабочего дня.. . Начиная со след. начнется отсчет двух недель.