Работник прогулял 4 дня. Сказал, что болел. Больничного нет. Однако, его болезнь (+)

работник не подтвердил свою болезнь никак.
Жена - не доказательство.
Он уволится сам.

Что будет вам:
Придет запрос из труд. инспекции, вы предоставите необходимые документы и спокойно распрощаетесь с инспекцией, пояснив ей, что работник сам уволился. а компенсация.. . при таком увольнении не предусмотрена.
не нервничайте - нет причин для этого
удачи!

ничего.
уволить работника по сокращению - это право работодателя, а не обязанность (ст. 81, 180 ТК РФ) .

не потеряйте его заявление по собственному желанию.
и он ошибся адресом. вопрос должен решаться в суде (ст. 394 ТК РФ).

Да ничего вам не грозит. Работник уволился по СОБСТВЕННОМУ желанию. И точка. Что он захотел впоследствии, уже ничего не значит. Хотя Вы могли его уволить за прогулы, так как подтверждение его жены не имеет юридической силы. Так что пусть Вам спасибо скажет, что не испортили ему трудовую книжку статьей за прогулы.

а с какой стати его сокращать-то? Вы же сокращение не проводили :)
Будут напирать из инспекции - предъявите его заявление, и все дела. Не надо было прогуливать.

ничего.

ни-че-го

Ничто. Он уже уволился по собственному желанию.

не надо было жалеть и увольнять за прогул, единственным доказательством нетрудоспособности является больничный лист. В данном случае вы уволили по собственному желанию и обратно не вернешь, работник может только в судебном порядке оспорить формулировку увольнения, но это довольно сложно, тем более изменит на увольнение по сокращению штата, так как там особая и длительная процедура увольнения. Трудинспекция моет только причлечь к административной ответственности за нарушение трудовых прав работника, ваш случай (если все сделано законно) не будет расцениваться как нарушение.