можно ли быть оформленным по трудовой книжке, не заключая трудовой договор, при этом чтобы это было законно?

Быстренько смотрим:
1) Ч. 1 ст. 61 ТК РФ (Трудовой договор вступает в силу со дня подписания работником и работодателем (...), либо со дня фактического допущения к работе в ведома ии попоручению работодателя.
Из чего следчует, что даже если трудовой договор не был оформлен надлежащим образом, то он все-таки считается заключенным (причем на неопределенный срок, т. е. бессрочный)
2) ч. 1-2 ст. 67 ТК РФ - там вобще все подробно и однозначно:
(...) При фактическом допущении работника к работе работодатель ОБЯЗАН оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работнка к работе.

В любом случае, если работник работает по трудовой, трудовой договор должен быть! При работе без трудовой заключают договор граждаско-правового характера: "утром стулья, вечером деньги"

часто оформление трудового договора оставляют на потом
если у вас есть запись в трудовой книжке, есть приказ и вы приступили к работе - считайте что вы законно работаете

Нет.
Запись в трудовую книжку вносится на основании приказа, приказ делают на основании заключённого трудового договора.

нет конечно. Основание для приёма на работу является Ваше заявление и запись в трудовой книжке делается после заключенного с Вами трудового договора. Так по закону именно.

Уже нельзя

Нет, он является основанием для приема