Увольнение пенсионера по собств. желанию. Надо ли отрабатывать 14 дней?

нет. В соответствии с ч. 3 ст. 80 ТК РФ в случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
Но это касается при увольнении по собственному желанию при достижении пенсионнного возраста.
В случае, если это работающий пенсионер, то на общих основаниях, с предупреждением за 14 дней.

Работник обязан подать завление за две недели до предполагаемой даты увольнения, а может ли он быть уволенным в день подачи заявления или на другой день - на усмотрение руководтсва (работодателя).

На основании ст. 80 ТК РФ пенсионеры не обязаны предупреждать работодателя об увольнении за 14 дней, но в заявлении необходимо указать" в связи с выходом на пенсию".

нет, не обязательно. в крайнем случае можно взять больничный.

Пенсионер может уволиться в любое время без какой-либо отработки, но по-человечески, предупреди хозяина хотябы за неделю, чтобы можно было найти замену.

В ТК РФ вообще нет такого понятия как отработать, ни 14 дней, ни 1 день.
Согласно ст. 80 ТК РФ работник должен письменно предупредить работодателя о своем желании уволиться не позднее чем за две недели, т. е. подать заявление об увольнении.
Теперь по поводу пенсионера, если это увольнение в связи с выходом на пенсию, то работодатель обязан уволить его той датой что указанна в заявлении об увольнении.
Если же пенсионер увольняется с целью дальше трудоустроиться, то письменно предупредить за две недели он обязан.

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
...
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

наскоко я помню, эти две недели можно не отрабатыватиь если работодатель не имеет ничего против, если же работодатель хочет что бы вы отработали, тогда придёться