Можно ли находясь в отпуске по уходу за ребенком устроится работать официально в другое место, не увольняясь со старого?

Можно. За лицами, находящимися в отпуске по уходу за ребенком в возрасте до 1,5 лет и работающими на условиях неполного рабочего времени или на дому, на период этого отпуска сохраняется право на получение ежемесячного пособия.
Обязательным условием является работа на условиях неполного рабочего времени, а это может быть и 7.50 час.

Действующее законодательство не запрещает делать это. То есть устраивайтесь по совметстительству, на неполный рабочий день.

На период отпуска по уходу за ребёнком за работником сохраняется место работы (должность) . Женщина имеет право, но не обязана находиться в отпуске по уходу за ребенком и, если она желает его прервать, работодатель должен предоставить ей прежнее место работы. Часть 2 статьи 256 Трудового кодекса РФ говорит о том, что отпуск по уходу за ребенком можно использовать полностью или по частям. Прерывание отпуска и досрочный выход на работу оформляется по письменному заявлению женщины или других лиц, имеющих право пользоваться таким отпуском, приказом (распоряжением) работодателя. При этом следует иметь в виду, что с выходом работника из отпуска по уходу за ребёнком выплата социального пособия прекращается. Однако получивший отпуск по уходу за ребенком имеет право работать на условиях неполного рабочего времени или на дому, в том числе в организации, которая предоставила отпуск либо у другого работодателя. Другими словами, такая работа не лишает права получать за время отпуска пособие.

Ну да если вторую трудовую книжку заведете. Или по гражданскому договору, а не по трудовому.

Вторая трудовая книжка здесь ни при чем. Можете хоть в десяти местах работать, и везде официально, но одно место работы будет основным, там и лежит трудовая, а остальные - совместительством.

можно