несколько вопросов про трудовой договор

В 16 лет Трудовой договор заключается непосредственно гражданином, без согласия родителей - ч. 1. ст. 63 ТК РФ.
Его отличие от взрослого указано в гл. 42 ТК РФ - запрещение привлечения к работам с опасными и вредными условиями труда, обязательный предварительный медицинский осмотр, ежегодный отпуск 31 день, запрещение направления в командировки, запрещение привлечения к работам в выходные и праздничные дни, разрешение расторжения Трудового договора только с согласия трудовой инспекции или комиссии по делам несовершеннолетних. А также сокращенная рабочая неделя, не более 35 часов в неделю - ст. 92 ТК РФ.
Требование регистрации по месту нахождения предприятия не законно.
Если на работе обманули, можешь обращаться в прокуратуру, для тебя это лучший вариант, они сами защищая твои права обратятся в суд.

Вступать в трудовые отношения в качестве работников имеют право лица достигшие возраста лет. Трудовые права и обязанности несовершеннолетних можешь посмотреть в главе 42 Трудового кодекса.

Вы имеете полное право трудоустроиться и получать зарплату, но в этом случае на Вас будут распространяться статьи ТК, касающихся Особенности регулирования труда работников в возрасте до 18 лет. Это, прежде всего, обязательное мед. освидетельствование для доступа к работе, сокращенная продолжительность рабочей смены и рабочей недели, иные нормы выработки, особые правила по охране труда, продолжительность отпуска и многое другое. Заявление на трудоустройство подписывает Ваш законный представитель (родители, опекуны и т. д.).

Трудовой договор должен заключаться обязательно, иначе никак не доказать, что ты там работала.
Что касается заключения, то просто нужно согласие родителей в письменном виде + родитель подписывает с тобой договор (и с работодателем)