отец - одиночка при увольнении должен отрабатывать 2 недели?

На общих основаниях. Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

да

Если только существенные препятствия продолжения дальнейшей работы и согласовано с начальником. Например в садике ремонт и с ребенком некому дома находиться.

у сторон трудового договора имеются взаимные права и обязанности:
в силу положений статей 22, 70, 71, 80, 189, 292 тк рф: работодатель имеет право требовать от работника исполнения им трудовых обязанностей; дисциплина труда - обязательное для всех работников подчинение правилам поведения; работник, в случае если трудовой договор заключен не на срок до двух месяцев, истек срок испытания, имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее, чем за две недели. .
каких либо условий сокращающих срок кодекс не содержит, за исключением соглашения сторон и моментов, указанных в статье 80 кодекса, а именно: когда заявление работника об увольнении по его инициативе обусловлено невозможностью продолжения им работы, а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства. .

какая разница кто? Закон есть закон, хоть бабушка Клинтона, все должны 2 недели отрабатывать... единственное как этого можно избежать "по согласованию сторон" т. е. человек просит - работодатель разрешает.