может ли отдел кадров занести запись в мою трудовую книжку на основании договоров с прежнего места работы?

Если у вас договор гражданско-правовой (оказание услуг, договор подряда и пр.) , то запись в трудовую книжку не заносится.
Если трудовой, то на основании подтверждающей справки с прошлого места работы, где работали по договору.

Ага, а печати на записи об увольнении отдел кадров от руки нарисует (если речь идёт о трудовых договорах)???

Нет. Записи с предыдущих мест работы вносятся только в дубликат трудовой книжки. У вас есть справки, их достаточно, чтобы засчитать в трудовой стаж для больничных и пенсии.

Только на основании выписки из приказов ОК.

мне кажется нет. ведь нужны печати и подписи кадровиков прежней организации

вы должны предоставить выписки из приказов о приеме и об увольнении, т. к. в трудовой в основании приема и увольнения пишется именно № и дату приказа.

Вопрос - почему прежний работодатель этого сам не сделал? А приказов о приёме и увольнении выходит не было? Возможно, что вы работали по договору гражданско - правового характера, о работа по нему, в отличии от трудового договора, в трудовую книжку не вносится. Если вы работали всё же по трудовому договору, то запросите заверенные надлежащим образом копии приказов о приёме на работу и увольнении у своего прежнего работодателя или в городском архиве, если они уже там.

В принцепе может, но отсутствие печатей и подписи кадрового работника с предыдущих организаций повлечет за собой недействительность таких записей.