Предлагают вместо трудового договора подписать договор подряда на выполнение работ.

подвох вот в чем:
по трудовому договору права работника защищаются государственными органами, договор по общему правилу заключается на неопределенный срок - че бы вам тут не говорили, и важен сам процесс трудовой деятельности - трудовая функция работника;
что касается договора подряда, так он заключается сторонами на свой страх и риск, и в случае его нарушения - никакая трудовая инспекция или прокуратура - НЕ ПОМОЖЕТ!
существенные условия договора подряда - предмет (важен результат работ) и срок договора - работы должны быть начаты и окончены в оговоренный сторонами срок.
*записи в трудовую книжку на основании договора подряда не вносятся.

По российским законом при заключении любого вида гражданско-првового договора (в отличие от трудового) запись в трудовую не делается, выплачивается не зарплата, а вознаграждение после подписания акта выполненных работ.
Отпуск не оплачивается, больничный тоже.

Трудовой договор - на определенный срок. На 1 год, например.
Договор подряда - на определенный объем работ. На газификацию дома, например.

При заключении договора подряда - у вас не будет никакого соцпакета. Периодичность выплат действиельно будет другой, например авансовые платежи, которые вы оговорите в договоре. Период работы по договору, если вы не ИП, вам не зачтут в трудовой стаж. Вот и решайте, что лучше.

Все тоже самое в налогах и пенсионном, разница - бригада или индивидуальный договор с сотрудником.

даже если с вами заключат трудовой договор записи в трудовой не будет, просто далее вы сможете подтвердить что действительно трудились на данном предприятии и это учтётся при подсчёте вашего трудового стажа, а подряд это вообще выполнение разовой работы, как то так

При подряде нет никаких социальных гарантий. Лучше трудовой договор.