может ли на предприятии работник взять 1, 3,5, дней отпуска? при каких условиях?

До 10 дней можно оформить

Отпуск предоставляется работнику ежегодно, согласно графика отпусков, который обязателен для работника и работодателя. Если в вашей организации нет графика отпусков, то вы можете его разделить, если руководство будет не против. В ТК РФ есть только одно обязательное требование на случай разделения ежегодного отпуска на части, а именно: одна из его частей должна быть не меньше 14 календарных дней (ч. 1 ст. 125 ТК РФ ). Оставшиеся 14 дней можно разделить на сколько угодно частей любой продолжительности. Правда, при дроблении отпуска вопрос о количестве его частей и их сроках всегда решается по соглашению с работодателем. Поэтому вы можете написать заявление о предоставлении вам пяти календарных дней отпуска, но окончательное решение останется за руководителем.

У нас в фирме если надо вот так на один день отлучиться (например, ДР мужа) , а накопленных отгулов нет, берут просто отгул в счет будущего отпуска, а потом выходят из отпуска пораньше. Не знаю, насколько это согласуется с законом, но всех устраивает

Если отпуск без сохранения содержания, то его можно взять на любое количество дней по соглашению с работодателем, максимум не ограничен (ст. 128 ТК РФ) . А вот с ежегодным оплачиваемым отпуском сложнее. Его тоже можно разделить на части по согласованию с работодателем (ст. 125 ТК РФ) , но при этом хотя бы одна из них должна быть не менее 14 календарных дней. Другие могут быть любой продолжительности, но, согласитесь, вряд ли администрация будет выдавать вам каждый раз по 1, 3, 5 денечкам, издавать приказ, производить перерасчет и т. п.

До истечения шести месяцев непрерывной работы оплачиваемый отпуск по заявлению работника должен быть предоставлен:

женщинам - перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него;

работникам в возрасте до восемнадцати лет;

работникам, усыновившим ребенка (детей) в возрасте до трех месяцев;

Отпуск за второй и последующие годы работы может предоставляться в любое время рабочего года в соответствии с очередностью предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков, установленной у данного работодателя.
О времени начала отпуска работник должен быть извещен под роспись не позднее чем за две недели до его начала.
По соглашению между работником и работодателем ежегодный оплачиваемый отпуск может быть разделен на части. При этом хотя бы одна из частей этого отпуска должна быть не менее 14 календарных дней.