можно ли уволить сотрудника за систему нарушений если сотрудник написал заявление об увольнении по собственному желанию?

Можно. Применение этого основания расторжения трудового договора возможно при соблюдении следующих условий:
- совершенное работником нарушение, явившееся поводом к увольнению, действительно имело место, причем это нарушение является дисциплинарным проступком, а не действием, не имеющим отношения к трудовым обязанностям работника (например, нельзя уволить работника по п. 5 ст. 81 ТК РФ за неправильное поведение в быту) ;
- причина неисполнения или ненадлежащего исполнения трудовых обязанностей - виновные действия работника. Если неисполнение трудовых обязанностей было вызвано уважительной причиной, увольнение работника не может быть признано правомерным;
- неоднократное неисполнение трудовых обязанностей должно быть подтверждено дисциплинарным взысканием. Если дисциплинарное взыскание за неисполнение трудовых обязанностей не применялось, увольнение по п. 5 ст. 81 ТК РФ не может быть признано законным.
Согласно п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случае неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание.
В случае наличия неснятого дисциплинарного взыскания за повторное ненадлежащее исполнение трудовых обязанностей или нарушение правил внутреннего распорядка в качестве дисциплинарного взыскания можно применить увольнение. Однако при наложении дисциплинарного взыскания необходимо учитывать тяжесть совершенного проступка и обстоятельства, при которых он был совершен (ч. 5 ст. 192 ТК РФ) .

Очень странное нарушение -"система", зачем умничать, не проще ли написать конкретно о нарушении?

Нет, нельзя. Нет такой статьи "система нарушений". Есть систематические нарушения. Прежде, чем приказы писать, налдо поработать над своим знанием русского языка.

Если работник написал заявление об увольнении по собственному желанию-это не значит, что он имеет право нарушать нормы ТК. Грамотный работник может избежать увольнения за виновные действия, к примеру уйти на больничный. В этом случае работодатель не вправе применить дисциплинарное взыскание в виде увольнения в период болезни работника, но обязан время нахождения на б/л включить в срок предупреждения об увольнении, по окончании которого, он обязан уволить работника согласно поданному заявлению.

Если факт нарушения не однократно подтвержден, то вы в праве уволить человека за систематические нарушения трудовой дисциплины.

можно, но все зависит от реальной ситуации - наличия объяснений, приказов, реальности проступков, срока написания заявления об увольнении по собственному желанию

Можно, конечно, но зачем? Жизнь человеку испортить? Обычно "по статье" увольняют если сам уходить не хочет, а избавиться от человека нужно... А тут... ну и пусть идет с миром, а вам это когда-нибудь зачтется:)

можно!

Можно, если все грамотно оформить.