Может ли работник отказаться выполнять обязанности другого работника на период его больничного?

В должностной инструкции такой момент взаимозаменяемости должен быть предусмотрен. Если у Вас предусмотрен, то Вы обязаны выполнять его обязанности, если нет - то по соглашению работника и работодателя, которое оформляется в письменнов виде в виде допсоглашения. Но в любом случае применяется ст. 151 ТК РФ.

При совмещении профессий (должностей) , расширении зон обслуживания, увеличении объема работы или исполнении обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором, работнику производится доплата.
Размер доплаты устанавливается по соглашению сторон трудового договора с учетом содержания и (или) объема дополнительной работы (статья 60.2 настоящего Кодекса) .

все зависит от обстоятельств - если по трудовым и профессиональным навыкам (наличие допуска по группе риска, медпоказаниям, сан. книжке и пр. ) и в соответствии с условиями труд. договора (если это там указано) по производственной необходимости - могут обязать, но опять-таки если у сотрудника нет допуска или существенно меняются условия труда, определенные в трудовом договоре - может отказаться

Может, если трудовым договором не предусмотрено. А вообще за выполнение обязанностей отсутствующего работника положена дополнительная оплата труда

По закону может...

Запросто. Только как потом работать?

похожая ситуация, вот на основе этих статей можно отказаться или согласится на ваше желание.
В соответствии со статьей 60.2 с письменного согласия работника ему может быть поручено выполнение в течение установленной продолжительности рабочего дня (смены) наряду с работой, определенной трудовым договором, дополнительной работы по другой или такой же профессии (должности) за дополнительную оплату (ст. 151 ТК РФ) .

Законодатель установил, что срок, в течение которого работник будет выполнять дополнительную работу, ее содержание и объем работодатель устанавливает с письменного согласия работника.

Вместе с новой статьей появилось право работника досрочно отказаться от выполнения дополнительной работы, а также право работодателя досрочно отменить поручение о ее выполнении, предупредив об этом другую сторону в письменной форме не позднее чем за три рабочих дня.