имеет ли право работадатель не внести запись в трудовую,ссылаясь на то,что испытатель ный срок ещё не закончился?

Не имеет, так как в ст. 66 Трудового кодекса указано, что работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.
При этом ни в данной статье, ни в положениях ст. 70 Трудового кодекса об испытании не предусмотрено право работодателя не вести трудовую книжку на работника, если последний находится на испытании.

нет конечно

Он имеет право внести ее после расторжения трудового договора

Запись в трудовую книжку, заносится на пятый день работы.

Трудовая книжка заводится на работников, проработавших не менее 5 дней. Если в Вами оформлен трудовой договор, то запись в трудовую сделать обязаны. Работник на испытательном сроке-полноправный член коллектива.

Нет. Обязан оставить пометку о приёме на работу и о причине увольнения ( как причина - не прошли испытательный срок)

Имеет, если вы заключили с ними срочный трудовой договор подряда. Вы его читали перед стажировкой?

не имеет

Правила ведения трудовых книжек касаются любых вариантов устройства на работу: заключение ли это срочного договора на срок до двух месяцев для выполнения временных работ, на период выполнения сезонных работ (до шести месяцев) , или же заключение договора с условием об испытании и т. д. Ст. 70 ТК РФ устанавливает, что в период испытательного срока на работника распространяются все положения ТК и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, поэтому работодатель должен оформить прием работника на работу в соответствии с установленными правилами, в том числе сделать запись о приеме на работу в трудовой книжке каждого работника, если он проработал в организации более пяти дней, начиная с момента заключения трудового договора (или со дня вступления договора в силу, если это прописано в договоре) .

Отказ работодателя сделать запись в трудовой книжке, ссылаясь на временный характер работы или испытательный срок, является неправомерным.

Нет, т. к. все записи о выполняемой работе, переводе на другую постоянную работу, квалификации, увольнении, а также о награждении, произведенном работодателем, вносятся в трудовую книжку на основании соответствующего приказа (распоряжения) работодателя не позднее недельного срока, а при увольнении - в день увольнения и должны точно соответствовать тексту приказа (распоряжения) согласно п. 10 Постановления Правительства РФ от 16 апреля 2003 г. № 225 "О трудовых книжках"