Правомерно ли увольнение без обязательной двухнедельной отработки с момента подачи заявления?

Никакой обязательной ОТРАБОТКИ действительно НЕТ - есть предупреждение работника об увольнении.
Согласно ст. 80 ТК РФ "Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме НЕ ПОЗДНЕЕ чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. ..
По СОГЛАШЕНИЮ между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и ДО истечения срока предупреждения об увольнении. "
Т. е. работник имеет ПРАВО предупредить о своем увольнении и РАНЬШЕ, чем за две недели.
Но работодателю, при увольнении работника по собственной инициативе, ТК РФ не предоставляет права изменять в одностороннем порядке дату увольнения, выбранную работником, а ТОЛЬКО по взаимному соглашению.. .
Так что, при наличии Заявления работника с конкретной датой увольнения – уволить его в день написания заявления (как считают некоторые отвечающие) никак нельзя.
Точнее, можно, конечно, но это будет нарушением трудового законодательства и работник имеет хорошие шансы "наказать" глупого и самодуристого работодателя - по суду получить оплату вынужденного прогула за эти "незаконные" дни увольнения.

Правомерно, если это договоренность работника и работодателя.

Это называется "Соглашение сторон", Статья 78 ТК РФ.

нет понятия "обязательная двухнедельная отработка", работник предупреждает работодателя об увольнении не позднее, чем за 2 недели, но можно уволить и в день написания заявления, и в день, указанный работником, это не запрещено

Это работодатель может настоять отрабатывать 2 недели, а может и нет. Так же, как и вы)) ) (грубо говоря)

Отработка является именно обязанностью. Уволиться раньше только с согласия работодателя.

если написать в заяве дату увольнения, никто не заставит отработать две недели

Если Вы оформлены по основному трудовому договору (бессрочному) , то при Вы при желании уволиться обязаны предупредить об этом (дата оформления заявления) своего работодателя за две недели. Есть вероятность, что работодатель пойдет Вам навстречу и сам предложит написать заявление с той датой, чтобы Вам не отрабатывать две недели, иными словами, нужно согласие Вашего работодателя. Виза работодателя на Вашем заявлении - это основание об издании приказа на увольнение, в последствии Вас обязаны ознакомить с приказом под подпись (в визе указывается надо ли Вам сдать дела, срок увольнения, при этом день увольнения считается рабочим днем, и т. п....) . Приказ работодателя является согласием на Ваше увольнение, и согласие это в соответствии с ТК РФ, в отличие от соглашения, не имеет обратной силы. По ТК РФ согласие работодателя не требуется, чтобы Вы уволились без отработки 2 недели:
если Вы работаете в порядке внешнего совместительства;
если Вы пенсионер;
если иное не предусмотрено заключенным с Вами Трудовым договором, внутренним трудовым распорядком учреждения, а также Коллективным трудовым договором Вашего учреждения или иными внутренними локально-нормативными актами.. .