Имеют ли право уволить работника во время отпуска?

Во время отпуска и больничного увольнять не имеют права. На Закон о труде даже не ссылайтесь - сразу же идите в Прокуратуру по месту нахождения работодателя. А мой Вам совет - в будущем не работайте без трудового договора.

Сперва нужно оформить ваши трудовые отношения чтобы говорить о каких-либо правах
Доказательства работы есть? Что же Вы за 2 года ни каких мер не предприняли?

Кто имеет право принимать на работу в вашей организации?
Надо было на него писать заявление:

Такому то... .
от... .
Заявление
Такого то числа с вашего ведома и по вашему поручению приступил к работе в таком-то отделе в такой то должности, что подтверждается тем то.... В связи с фактическим допуском работника к работе работодатель обязан оформить трудовой договор в письменной форме. Прошу в течение 3 дней выдать копии документов связанных с работой: Приказ о приеме на работу, копию Трудового договора
Число подпись

Пиши в 2 экземплярах и отправляй заказным письмом

Что можно требовать, работая без оформления.... Только слезно просить.. . Или набраться терпения, свидетельских показаний, что работали в данной фирме, может, где-нибудь Ваша подпись засветилась - и в суд.

ТК РФ

Статья 67. Форма трудового договора
Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе.
Проблема в том, что Вам сначала нужно доказать, что отношения между Вами и работодателем были трудовые, а не гражданско правовые, а уж потом требовать гарантии, которые предусмотрены при заключении трудового договора.
Главные отличия трудового договора от Гражданско -правовго:
1) в ГП отношениях стороны равны, в трудовых отношениях начальник- подчиненный
2)при ГП отношениях просто оговаривается объем работ, при трудовых отношениях, Вы занимаете определенное рабочее место, выполняете трудовую функцию регулярно. .
3) при трудовом договоре существует режим работы
4) при ГП договоре Вы получаете вознаграждение по факту выполнения работ, при Трудовых отношениях Вы получаете заработную плату не реже 2х раз в месяц.

Если не оформлены, то и прав никаких.

Если не оформлены, то и прав нет. Вас нет там.