Я работаю уже семь лет временно в одной организации. Могу ли претендовать на постоянную работу? Можно ли это?

Алиса права. Срочный трудовой договор не может быть заключен более чем на 5 лет. Вы отработали 7 лет. С вами продлевают действие договора после завершения срока его действия? Если это так, то заключенный срочный трудовой договор невозможно продлить (исключение-продление на срок окончания беременности) , либо он может быть расторгнут в связи с истечением срока его действия, либо стороны продолжат трудовые отношения на бессрочной основе. Статья 58 ТК РФ содержит специальное правило о том, что если ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу, условие о срочном характере договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.
В случае, если с вами постоянно перезаключают договор, т. е. увольняют по п. 2.ч. 1 ст. 77 ТК РФ и принимают на работу по новому срочному договору, без законных на то оснований описанных в ст. 59 ТК РФ, то при проверке будет считаться, что трудовой договор заключен на неопределенный срок. Можете обратиться с жалобой за защитой своих прав в ГИТ. Чтобы ваше обращение с жалобой не сказалось на вашей дальнейшей работе, то у вас есть право указать в заявлении, чтобы при проверке не оглашалась фамилия заявителя. Тогда сотрудника ГИТ проведут комплексную проверку, а не целевую по вашей жалобе.

заключение срочного договора обычно незаконно, список законных причин в ст. 59 тк рф

Все зависит от того, как вы работаете. Если вас перемещают с одной временной работы на другу, например на время декретного отпуска основного работника, то нет. Если же вы работаете на одном и том же рабочем месте, и с вами заключают срочные договора на определенный период, которые неоднократно продлеваются, то вы можете обратиться в трудовую инспекцию. Работодатель должен будет привести вескую причину заключения с вами временных договоров. Если причина будет признана неуважительной, то его могут принудить к заключению с вами бессрочного трудового договора. И вам решать сможете ли вы там после работать.

Претендуйте. Кто вам запретит?

Претендовать можете..