Можно уволить работника если он не даёт трудовую книжку?

То что трудовая книжка у человека лежит дома известно с его слов или может быть это вообще предположение отдела кадров. Факт что он не предоставли ее может говорить о следующем
1) трудовая книжка не предоставлена, т. к работник сообщил ложные сведения о своей прежней работе, в т. ч. о стаже и причинах увольнения
2) трудовая книжка не предоставлена, т. к. работник чилится по основному месту работы в другой
оргнизации. Вероятность этого особо велика, если работник числится у вас не на полную ставку или является другом/родственнком руководства или кадровиков
3) трудовая книжка не представлена, т. к. в ней есть запись об увольнении в связи с запретом заниматься данным видом деятельности
Согласно статье 65 ТК РФ "В случае отсутствия у лица, поступающего на работу, трудовой книжки в связи с ее утратой, повреждением или по иной причине работодатель обязан по письменному заявлению этого лица (с указанием причины отсутствия трудовой книжки) оформить новую трудовую книжку"
Согласно пункту 31 Правил ведения и хранения трудовых книжек, утв. Постановлением Прав-ва РФ №225, лицо, утратившее трудовую книжку, обязано НЕМЕДЛЕННО заявить об этом работодателю по ПОСЛЕДНЕМУ месту работы. Работодатель выдает работнику дубликат трудовой книжки не позднее 15 дней со дня подачи работником заявления.
Ни то ни другое ваш работник не сделал.
Таким образом, у вас сейчас нарушение трудового законодательства, т. к. вы приняли на работу человека не представившего документы, предусмотренные статьей 65 ТК РФ и не оформили на него книжку как требует статья 66 ТК РФ.
Вам необходимо потребовать представления трдовой книжки, т. к. увольнять его будет муторно из-за кучи разных бумажек.
Чтобы представил книжку есть очень хороший аргумент - статья 159 УК РФ. У вас наверняка есть выплата, которую получают только при работе по трудовой книжке и не получают совместители. Скажите работнику, что он не представил вам трудовую, чтобы незаконно получать эти выплаты и если книжка не будет представлена в течении суток, то вы подадите заявление о возбуждении против него дела по этой статье.
И через сутки у вас на столе будет лежать либо книжка, либо заявление по собственому желанию.
p.s. Если ревизия обнаружит факт незаконных выплат данному сотруднику, данному сотруднику может быть предъявлено обвинение в мошеничестве, а те кто его оформлял будут долго доказывать, что они обычные шалопаи, а не пособники преступника

Интересно! А как ВООБЩЕ был принят БЕЗ трудовой книжки??? ?
Да его можно сразу пинком под зад!

ТК РФ Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора
[Трудовой кодекс РФ] [Глава 11] [Статья 65] При заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю: паспорт или иной документ, удостоверяющий личность; -трудовую книжку, за исключением случаев, когда трудовой договор заключается впервые или работник поступает на работу на условиях совместительства; и т. д. В ТК ясно написано, что требуется при заключении тр. договора. Если требуемые ПО ЗАКОНУ документы не были представлены, договор нельзя было заключать вообще. Т. о. со стороны школы прямое и грубое нарушение ТК РФ и допуск к работе в школе человека без ТрКн - может у него судимость, в Тр Кн. такие вещи обязательно отмечают. Если уже есть приказ о зачислении в штат, то уволить без веской причины вы его не можете. Надо переговорить с ним увольняйся по собственному или расторгнем тр. договор на основании ст. 65 ТК РФ, и если результат будет отрицательный, то ваше дело плохо, вы серьёзно вляпались. Перевести по совместительству или завести новую Тр. Кн. это уже надо консультироваться с РОНОвским юрисконсультом.

нарушение принять без трудовой, коллапс, подстава для бухгалтерии со стороны отдела кадров, вы даже не сможете новую книжку выписать - от него должна быть объяснительная, почему ему нужна новая, скоро отменят трудовые, можно подождать.. . а статьи "отсутствие трудовой" для увольнения нет

Конечно можно - но основанием это не служит поскольку непонятно заключен ли трудовой договор с учителем. Можно уволить за однократное грубое нарушение. Второй вопрос как он получал весь учебный год зарплату, а как известно школы финансируются из бюджета. С него можно будет взыскать начисленную зарплату, если надо то и через суд. В принципе он не мог приступить к выполнению трудовых обязанностей пока не предоставит весь пакет документов на трудоустройство

В соответствии со ст. 65 ТК РФ работник при принятии на работу предоставляет среди перечня документов и трудовую книжку.
Постановление Правительства от 16.04.2003 № 225, п. 45 - ответственность за организацию работы по ведению, хранению, учету и выдаче трудовых книжек и вкладышей в них возлагается на работодателя.
Если изначально у работодателя не было ТК работника, то вопросы будут к первому.