Спорная ситуация. Вопрос внутри

Конечно НЕТ. Во-первых, сам себе работник не имеет права вносить никаких записей в трудовую, во-вторых, нужна ссылка на приказ, которым она принималась на работу и которого у вас нет, а при увольнении-нужна еще и печать этой организации или ИП в трудовой.
Если ее мать издаст приказ и ей в трудовой книжке запись сделает тот, кто имеет на это право, а не она сама, то тогда можно.
Но если за этот период времени за нее не оплачивались страховые взносы в пенсионку, то этот период времени в стаж, необходимый ей для назначения пенсии, все равно не войдет.

она сама будет писать в трудовую книжку? если мать за нее не делала никаких отчислений, то этот период в ПФ не будет учитываться, даже если мать сама сделает в книжку запись.

Никакого спора тут быть не может. Если мамина контора официально зарегистрирована в налоговых органах, любой принятый туда на работу сотрудник (помощник) обязан быть официально оформлен, и за него уплачиваются хозяйкой все налоги. Сама мама должна быть заинтересована, чтобы трудовая деятельность дочки вошла в трудовой стаж, необходимый для получения социальных пособий (больничный лист, декрет, пенсия и проч) . Если в рудовую книжку уже внесены какие-то записи, задним числом мама вписывать ничего не может, но может выдать справку о работе у неё , с указанием времени и должности, которая при необходимости будет учтена

Да, запись в Трудовую можно сделать любую, хоть то, что она работает лётчиком-испытателем. Толку-то с того? Стаж насчитывается с отчислений в ПФР. У работника должен быть СНИЛС. И в налоговую делаются выплаты НДФЛ работодателем. Если на дочь она их не делала, то писать в Трудовой что-либо- не имеет смысла.

Да

нет конечно, запись в трудовой книжке осуществляется только посредством подписания трудового контракта с защитой трудовых прав профсоюзами, а нелегалы никакого отношения к этому не имеют!!