Где хранить и вести трудовую книжку руководителя учреждения - по месту работы или у работодателя?

Правила ведения
и хранения трудовых книжек.. . Пункт 43. Трудовые книжки и дубликаты трудовых книжек, не полученные
работниками при увольнении либо в случае смерти работника его ближайшими
родственниками, хранятся до востребования у работодателя (в организации или у
физического лица, являющегося индивидуальным предпринимателем) в соответствии с требованиями к их хранению, установленными законодательством Российской Федерации об архивном деле. 45. Ответственность за организацию работы по ведению, хранению,
учету и выдаче трудовых книжек и вкладышей в них возлагается на работодателя. Ответственность за ведение, хранение,
учет и выдачу трудовых книжек несет специально уполномоченное лицо, назначаемое
приказом (распоряжением) работодателя.

Трудовые книжки работников хранятся и ведутся в кадровом аппарате по МЕСТУ РАБОТЫ работника, в т. ч. руководителя организации, независимо от того, чьим приказом он назначен на должность. Хорошим примером в этом является ОАО РЖД. Здесь руководители назначаются приказами начальников железных дорог, дирекций, центральных дирекций, президента РЖД. Но их ТР/КН всегда находятся в отделе кадров той организации, где находится их кабинет.

Трудовые книжки храняться по месту работы. Так как у Вас учреждение, то собственник очевидно администрация, которая и заключает трудовой договор, в соответствии с действующим законодательством. Но работник он учреждения. Трудовая храниться в учреждении.

вообще существует трехуровневая система работодателей
т е кадровик ведет всех, кого уполномочен
его, аппарат правления и иных его членов ведет гендириктор, он же президент, он же преправления, везде по разному.
на том же уровне находится совет директоров, у которого тоже есть трудовые книжки. но своих людей.
что выше -- я пас, ибо далее идет четкое разграничение трудовой и предпринимательской деятельности.