работаю по трудовому договору. не подписывают заявление об уходе.

На момент ДТП вы были работником организации. Если вы совершили ДТП в рабочее время, при исполнении своих трудовых обязанностей, то уже не важно сейчас вы уволитесь или нет. В любом случае отвечать должен работодатель.
А если заявление не подписывают, то направляйте его работодателю заказным письмом с уведомлением.

Для вольнения требуется подать заявление. Но не требуется подписи. Вас просто обязаны уволить чрез 2 недели, и все. Взысканию ущерба с вас это не препятствует, для этого существуют суды

Ремонт страховая платит. Сказочники они. Берете с собой 2х знакомых, вписываете их фио и номера паспортов в заявление об увольнении, на обоих экземплярах пишете : заявление оставлено там- то в присутствии понятых таких то. И все. Охреневшие. Только родню близкую не берите

Статья 80 Трудового кодекса РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
Вам надо зафиксировать ФАКТ предупреждения в письменной форме. Для этого лучше сделать два экземпляра, оставив один себе с отметкой о получении или в канцелярии с указанием входящего номера и даты получения, или непосредственно с визой работодателя. Пусть напишет причину отказа в принятии заявления. Можете обратиться за помощью в Федеральную инспекцию труда и прокуратуру. Они ОБЯЗАНЫ Вам помочь.