Должен ли работник сообщать свою фамилию по телефону другому работнику компании?

существует протол общения. поинтересуйтесь какой именно в вашей компании. странно что работая там вы этого не знаете

По правилам вы должны представиться прежде, чем начать разговор. Обычное-начала разговора -Добрый день, техник Сидоров слушает. Звонящий-это бухгалтер Иванов. И далее идет разговор. Если конечно, вы уже друг друга по голосу не узнаете.
И фамилию вы назвать обязаны, вы на работе, разговаривает по делу. Любая информация должна иметь свой установленный источник.

Обычно даются сотрудникам имена и номер я аня номер 820 фамилию не сообщайте

можно сослаться на ваше понимание закона "о защите персон. данных" и отказаться, хотя просто ФИО не попадает, только в комплекте с другими данными
нужно почитать должностную инструкцию

если работа связана с телефоном - должен быть регламент, как вы представляетесь по телефону

если ничего не описано - то можете послать нафиг, пожалуется начальству, вы получите замечание - устное, так как письменно не за что, и разработают вам регламент поведения под подпись

ЗЫ: а оно стоит? так усложнять, не проще ли назвать фамилию?

обязанность представляться может быть прописано в регламенте, правилах внутреннего трудового распорядка и в должностной инструкции. Нужно там взглянуть! Если прописано, то естественный вывод - нарушен регламент, ПВТР или должностная инструкция. НО В ЭТОМ СЛУЧАЕ ВСТАЕТ ВОПРОС "КАК ВЕСТИ КОНТРОЛЬ? " Если прописано, но не возможно проконтролировать, то эта норма действовать не будет. А если не прописано - то флаг всем в ручки!)