можно ли на секретаря руководителя возложить полностью обязаннсоти бухгалтера-кассира?

Если работник, без освобождения от основной работы в течение своей рабочей смены выполняет обязанности по другой должности, это возможно в порядке совмещения. При этом вакантная ставка для совмещения должна быть в штатном расписании. Если происходит сокращение должности, это означает что её выводят из штатного расписания и соответственно - невозможно совмещать должность, которой нет...
В Вашем случае правомерно было бы изменение штатного расписания, поскольку необходимо предусмотренную штатным расписанием должность бухгалтер-кассир, которую "сократили",разделить на две должности. Работодатель вправе дополнительно ввести в штатное расписание две должности, например, бухгалтер и кассир, либо одну из них, предложив секретарю совмещение, даже обеих должностей, если позволяет образование и компетенции. В случае согласия работника с предлагаемой дополнительной работой следует заключить соглашение. И учтите, что кассир-материально ответственное лицо и требует заключение договора о полной материальной ответственности.

Бухгалтер-кассир - это уже совмещение 2 должностей. И если их сократить, то оставшийся работник будет совмещать уже 3 должности, 2 из которых не оговорены трудовым договором, что Трудовой кодекс запрещает делать ( ст. 60 ТК РФ). Но если работник согласен, то с ним составляют дополнительное соглашение к трудовому договору ( ст. 60.2 ТК РФ) и доплачивают в порядке ст. 151 ТК РФ.

с согласия работника, с соответствующей компенсацией - да, законно.

только это не сокращение штата.
а численности.