Как уволить работника который врёт, что находится на больничном?

Интересно, а кто сказал, что поликлиника вообще ответит на этот запрос? В лучшем случае деликатно отпишутся, что подобные сведения не предоставляются, а то и просто выкинут бумагу в корзинку.
Есть закон о защите информации, почитайте его. Процедуру увольнения можно будет начать, когда работник явится на работу, но не предоставит листок нетрудоспособности (он именно так называется, это никакой не "больничный"), либо по достижению предельных законных сроков. Пока же вы вынуждены верить работнику на слово и не можете законно уволить.
Кстати, врач поликлиники тоже нарушает закон, давая по телефону любую информацию о больном неизвестно кому. Теперь, если уволите, то прилетит всем - и конторе, и поликлинике, за нарушение закона о защите персональных данных. Это всего лишь вопрос найма толкового и опытного адвоката.
Есть очень интересный вопрос. А что будет, если после всего этого безобразия работница принесёт подлинный листок нетрудоспособности? Пусть из другого учреждения, но подлинный и полностью закрывающий нужные даты?

Больничный мог быть выдан и не поликлиникой, а частным медицинским учреждением

Может она в частной клинике лечится, не обязательно в городской, куда вы послали запрос.

Пока вы не можете её уволить. Сколько времени она отсутствует ?

Увольнение по инициативе работодателя в период временной нетрудоспособности работника не допускается (ст. 81 ТК РФ). Поэтому сейчас Вы сотрудника уволить не вправе.

Никто вам не поможет выяснить на 100% эту информацию, иначе это статья. Нельзя вмешиваться в чужую жизнь. Человек, с выходом на работу должен предоставить свой больничный лист, и тогда ему будут возвращены деньги за больничный, основываясь на 2х последних годах работы. Если нет, то в бухгалтерии просто вычтут всю сумму за прогулянные дни в счет административного отпуска или подадут это начальству, и оно решит как наказать данного субъекта. Но искать по всему городу оно явно не будет.

С того дня, когда он не вышел на работу и начался его мнимный больничный. Если подтвердится, что он ненастоящий

Перед тем как уволить, проведите должностное расследование согласно требования ТК РФ. После его окончания и вынесения результатов уже решается вопрос об увольнении