Срочно нужен отгул: оплачивамый - не оплачиваемый, в счет отпуска, любой.

иди кровь или ее компоненты сдавай в качестве донорской помощи. Будет тебе счастье. в иных случаях, кроме нескольких предусмотренных законом, тебе никто ничего давать не обязан. А могут и выпнуть за прогул.
Ты и так обратишься напрямую к начальнику конторы. Твой непосредственный руководитель, формально, почти никогда не является лицом, имеющим право на принятие таких решений

128 тк рф
Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;

работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;

родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году;

работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;

в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами либо коллективным договором.

если официальное событие (рождение ребёнка, свадьба, похороны, список не закрытый), тогда обязаны предоставить по письменному заявлению, ст. 128 тк рф, это называется неоплачиваемый отпуск на 1 (2, 3, 4, 5) день

заяву заранее.

или больничный

Требовать вы ничего не можете. Дни за свой счет вам обязаны предоставить-на свадьбу, похороны, рождение ребенка.

Предложите начальству отработать отгул за пятницу в воскресенье например.