Можно ли уволиться по собственному желанию в свой отпуск? Какая статья ТК это позволяет?

Нельзя. Человек ОБЯЗАН отгулять отпуск и сразу можно начинать процесс увольнения.

можно - достаточно, находясь в отпуске, прмерно за 2 недели до его окончания уведомить работодателя о своем желании уволиться.

Нет такой статьи, которая запрещала бы это.
Если подашь заявление об увольнении за две недели до выхода из отпуска - все будет в полном соответствии с требованиями ст. 80 ТК РФ

Можно. Подается заявление 1 августа и там пишете Прошу уволить меня 15 августа..

Можно и в отпуске написать заявление на увольнение. Но чтобы не было проблем, сделайте это за 14 дней до окончания отпуска.

Конечно, можно просто не явиться. Не получаешь выплаты положенные, трудовую, пенсию за это период. И все.

Я разрешаю

Можно. В последний (а можно и не последний) рабочий день перед отпуском напишите заявление: "Прошу уволить 15 августа"

Я не хочу - все заепали!

Можно, но есть один нюанс о котором в предыдущих ответах не упомянуто. Вы можете написать заявление на увольнение и срок предупреждения составляет две недели, а нюанс в том, что течение этого двухнедельного срока предупреждения начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении. Написать можно в отпуске, а когда работодатель получит это письмо с заявлением (если отправляете почтой) не известно. Если отнесете его сами и отдадите в канцелярию, то срок считайте со следующего дня.