Какого числа нужно написать заявление в мае, чтобы уволиться с 1 июня?

Уважаемый Наблюдатель, если Вы подали в соответствии со статьей 80 ФЗ "Трудовой кодекс РФ" (ТК РФ) заявление (в письменной форме) расторжения трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию) - как это в этой статье ТК РФ указано, то Вы вправе гарантированно рассчитывать на то, что будете свободны от работы у этого работодателя с 02 июня 2021 года. Подсказку, чтобы быть свободным от работы с 01 июня 2021 года, даю Вам ниже со пунктом вторым.
1. Чтобы гарантированно быть свободным от работы у работодателя заявление работника дается за две недели до дня увольнения. Если Ваше заявление у работодателя будет в понедельник 17 мая текущего года, отсчет времени в две недели у Вашего работодателя может задержаться на один день из-за того, что днем подачи заявления (работника) считается следующий за этим календарный день.
2. Уважаемый Наблюдатель, даете свое заявление представителю работодателя, который рядом с Вашим рабочим местом, "прямо" с утра рабочего дня понедельника 17 мая 2021 года.
3. Уважаемый наблюдатель, согласно статье 80 ТК РФ цитирую: "Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, ..", - однако это не обязательно для любого работника, в том числе - не обязательно для Вас.
4. Ввиду того, что работодатель (представитель работодателя) приступает к поиску замены на рабочем месте работника сразу же с утра рабочего дня 17 мая 2021 года, пишите заявление 17 мая расторжения с ним трудового договора на 31 мая 2021 года (на 31 мая - полный с Вами расчет и Ваша Вам трудовая книжка) (содержание Вашего для Вас заявления подсказываю ниже от Вас для работодателя).
5. Итак, (Вы пишите) прошу на 31 мая 2021 года дать мне полный расчет и мою от Вас работодателя трудовую книжку (ввиду согласно статье 80 ФЗ "ТК РФ" расторжения мною с Вами работодателем трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию) - последнее здесь в круглых скобках можно не писать).

за 2 недели до даты увольнения

Хоть 1 мая.... не менее чем за 2 недели.... хоть 18

17 мая. и вообще это не непременное условие.

17-го мая

читай трудовой договор

Да хоть в день увольнения., просто его нужно грамотно написать, и если в день увольнения, то не по собственному желанию, а по соглашению сторон.