Вопрос внутри, помогите чем можете

Надо просто взять и посчитать сколько не отгуленных дней отпуска у него за период работы.
До 3-го июня считайте по-старому из расчета, что в каждом месяце ему насчитывается 18/12=1.5 отпускных дней за каждый полный месяц работы, а после 3-го июня 24/12=2 дня отпуска за каждый полный месяц работы (полтора месяца округляются до большего, т. к. до двух месяцев) .

P.S. А вообще и правда узнайте на сколько законен подобный отпуск в договоре и если что переделайте договор, соответственно пересчитав отпуск. А вообще сейчас отпуск 28 дней по ТК РФ (если вы в РФ) и соответственно отпуск считается как 28/12=2.33 дня за каждый месяц работы. Иначе вас штрафанут за такое.

господи, с 2002 года новый трудовой и там нет 18 дней отпуска, сроки давности для вопроса - прошли..

А все статьи по отпускам в главе 19 Трудового кодекса РФ
18 и 24 дня в трудовом договоре, нарушение законодательства, да и периоды за которые предоставляются отпуска, судя по всему рассчитаны не верно.
Мало исходной и правильной информации для того чтоб дать вам ответ.
....вы в Казахстане живете... надо писать в вопросе законодательство какой страны вас интересует.

Какой бы ни был заключен договор, согласно:
Статья 115 ТРУДОВОЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Продолжительность ежегодного основного оплачиваемого отпуска

Ежегодный основной оплачиваемый отпуск предоставляется работникам продолжительностью 28 календарных дней.
И если работник уходит в отпуск с 11 июль, то выйти на работу он должен 8 Августа, это если у него отпуск за год, если отпуск через 6 месце - за отработанное время, там по другому, но из вопроса не совсем пончтно.

На предприятии должен быть юрист, он разрешит мирно ваш спор.