как объяснить иностранцу, зачем мы добавляем "же"? Я же сделал и т. д.

Для усиления утверждения или для убеждения. Пример: "Я сделал уроки" и " Я же сделал уроки", за вторым предложением подразумевается (но не произносится) вопрос типа: "Что вы ещё от меня хотите? ", или " Этого не достаточно? ". После произнесения первой фразы никакого предполагаемого вопроса не напрашивается.

Во-первых, это словцо может иметь, в зависимости от контекста и интонации, как минимум два совершенно разных смысла:
1) Я же сделал уроки - почему меня всё равно ругают?
2) Мой братишка весь вечер шлялся незнамо где и назавтра получил двойку, я же сделал уроки и назавтра получил пятёрку.

Объяснять тут нечего - надо попытаться перевести то и другое высказывание, а также фразу без этого "же", на понятный ему язык.

Частица же усиливает нашу эмоцию в ответе на вопрос и наше недовольство вопросом!

Не забудьте указать что если ударение идет на Я то указывается (выделяется) ваша причастность к сделанному а не факт что вы что то сделали.
Если ударение идет на СДЕЛАЛ то смысл предложения совсем другой и зависит от контекста.
То есть благодаря слову ЖЕ вы можете менять смысл предложения пользуясь ударением.
Остальное что вам тут понаписали про усиление эмоций - бред.
Эмоции в этом предложении передаются интонацией. (восходящая, нисходящая итд)
Иностранцу нужно учить КАК это все произносится а не просто значения слов.

На примере родного языка: Ich hab`s doch gemacht. Вот это же здесь переводится как doch. Соответствие почти стопроцентное. Так и объясните.

Тут есть разные оттенки. Я сделал - утверждение. Я же сделал - самооправдание.

Жаль, что вы не написали откуда этот иностранец.
Если он англоязычный, то в английском есть аналогичная конструкция "усилительное do". Это эмфатическая конструкция (т. е. конструкция, служащая для усиления одного из членов предложения) .

Например:
I DID do it. - Я ЖЕ сделал это! (Я действительно сделал это! )
They DO study English. - (Но) они ЖЕ изучают английский!

утверждение

Вместо мата употребляем

Усиление нашего утверждения.