Почему нельзя написать "Their are not here"?

На английском нельзя сказать дословно "Их здесь нет", потому что это в русском это безличное предложение, а в английском обязательно должно быть подлежащее и сказуемое. Поэтому говорят They are not here. - "Они не (находятся) здесь".
В любом случае, вы путаете два разных местоимения, которые переводятся "их" и отвечают на разные вопросы - their и them. Сравните:
I saw them in their car yesterday. - Вчера я видел (кого?) их в (чьей?) их машине.
P.S. Никогда не переводите дословно. Особенно английский. Только включать мозги и рассуждать.

Their в английском языке - притяжательное местоимение
They - местоимение 3 лица множественного числа.
Разные слова

Ты что не видишь разницу или ты полный даун? В одном случае используется местоимение (КОГО здесь нет? Их.), а в другом случае прилагательное (ЧЬИ/ КАКИЕ дети? Их.).

Почему нельзя? Можно. Малограмотные носители именно так и поступают. Ошибки в правописании местоимений -- среди самых типичных грамматических ошибок, которые делают носители. "Their" вместо "they're", "your" вместо "you're", "it's" вместо "its" и т. п.

Написать где нельзя? Для учителя нельзя так как это криво. В своей книге один знакомый писал мыш без мягкого знака потому как самец и это не было ошибкой. Человек закончил МГУ

Потому что their это их, а they это они. Ты неверно переводишь they are not here. Это дословно переводится как "они здесь не есть".
Если ты хочешь использовать свой оборот, то нужен субъект. Их <что_именно> здесь не есть.

Потому что в русском переводе и так и так будет "их", а в английском языке это 2 разных слова.

пораскинь мозгами. Тут совсем разное значение слова «их». В первом случае он отвечает на вопрос «чьи»? А во втором перевод если перефразировать их здесь нет, следственно, «они не тут», они-they