How long have you been here FOR?Please DO visit me sometime! Какую вообще функцию исполняет выделенное?

Вы правы. Да, можно и обойтись!)
В живой разговорной речи носители языка именно так и делают.
"How long have you been leaning English?"

Гораздо реже можно услышать: "For how long have you been learning English?" "How long have you been learning English for?"
Тем не менее, предлог 'for' может здесь присутствовать и "выстраиваться" в конец предложения, что очень типично для английского языка.

Пример: "Where do you come from?" Откуда ты?
Маловероятно, что кто-то спросит: "From where do you come?"))
What are you doing it for?" Зачем/для чего ты это делаешь? Дословно: Чего ты это делаешь для?)

В Вашем примере... Что же он (предлог) там "делает" вообще?

Спрашивающий заостряет внимание на том, что его интересует точный промежуток времени, и он делает на этом акцент (потому и предлог стоит в конце предложения и будет обязательно под ударением).

В большинстве случаев предлоги ("послелоги") в вопросах выстраиваются в конец предложения и сопровождаются ударением. Но это не всегда так. Есть и много исключений, связанный с благозвучием и не только... Например: "With what pupose did you visit the bank yesterday?"

Внимание! Предлоги могут ставиться в конце не только вопросов, но и отрицательных и даже утвердительных предложений!). И это не есть инверсия в чистом виде.

Примеры:
I don't know what to start with. Я не знаю, с чего начать.
I know what to start with. Я знаю, с чего начать.

Do стоит для усиления и выражает настойчивость в просьбе:
Обязательно навести меня.
Непременно приезжай/приходи ко мне в гости.
Не только do...
Oh! Вut she does know the truth! (does - для усиления)
Oh! Вut she did know the truth! (did - для усиления).

Здесь Вам будет интересно: http://www.study.ru/support/lib/note141.html

For - это ИНВЕРСИЯ положения предлога. For how long have you been here? - предлог переставлен в конец предложения - часто встречающийся прием в английском языке.

Preposition at the end of the sentence
Когда предложение может заканчиваться предлогом? Вот несколько примеров:

• What did you step on? – на что ты наступил?
• What are you looking at? – на что ты смотришь?

Дело в том, что предложение не обретет смысл без предлога. Мы не можем сказать What did you step? или What are you looking? – мы должны сказать What did you step on? и What are you looking at?, чтобы предложение стало грамматически законченным. Наверняка вы скажете — а что, если использовать предлог в начале предложения — On what did you step? С точки зрения грамматики такое предложение вполне правильное, но звучать оно будет несколько странно, поскольку ни один англоговорящий человек так не говорит.

Но не всегда нужно заканчивать предложение предлогами. Если, отбрасывая предлог, мы не меняем смысла предложения, то в нем нет необходимости, например, некоторые спрашивают: “Where are you at?”. Если отбросить предлог, мы получим “Where are you?” – т. е. смысл предложения не меняется, в обоих случаях мы спрашиваем: «Где ты?»

В вопросах, начинающихся с местоимений who, what, where и т. д., предлог, связанный с глаголом, обычно идет в конец предложения:

What are you looking for? Что ты ищешь?
What was Jenny afraid of? Чего испугалась Дженни?
Which hotel did they stay at? В каком отеле они остановились?
Who did Tim give the book to? Кому Тим отдал книгу?
Mary is going skiing. Who with (= who is she going with)? Мэри идет кататься на лыжах. С кем?
I want to talk to you. What about? Я хочу поговорить с тобой. О чем?

do - усиление просьбы.

for - с этой целью. do - обязательно (настойчивая просьба/желание)

Более пош в первом примере с предлогом.
Во втором - очень вежливая настойчивость в приглашении.