Как извлекать квадратные корни быстро или устно?

Все-таки устно или в уме? Устно можно извлекать корни при помощи карманного ИИ.
Например, Siri умеет по-английски понимать фразы типа "square root of 5", по слухам, за ней стоит Вольфрам, а по-русски она пока что даже 2x2 не понимает. На Андроиде не пробовал.

На калькуляторе. Устно не извлечешь, кроме как из нескольких удобных чисел. Есть методы извлечения авторучкой на бумажке, но довольно утомительные, долго считать.

Устно - не знаю. Быстро - на калькуляторе. "От руки" - этому классическому способу нас учили в 50-е годы (кстати, сейчас многие учителя математики его не знают). Другой ручной способ приводится в "Справочнике по элементарной математике" Выгодского (60-х годов изд.).

Таблицы логарифмов выучить только если.

Почитайте справочник по элементарной математике Марка Выгодского, вот там показано то, как их извлекать.
В первом ответе Вам человек объяснил уже метод извлечения квадратного корня. То же самое написано в этом справочнике, но подробнее.

Ознакомьтесь с открытиями Герона Александрийского в Александрийской библиотеке, фолиант тут
http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works/Bursuk.pdf

выучить несколько цифр ..

ну помимо стандартной таблицы умножения ..
например 121 это у нас 11*11
144 = 12*12
и т. д.
к примеру у вас число 127 .. и вы уже знаете что оно находится между 11 и 12 .. значит целых у вас 11 .. и там уже остаток .. или не остаток, я уже толком не помню, давно дело было :D