Геометрическая задача на утреннюю разминку.

Один из вариантов доказательства:
Продолжим меньшую сторону ВС до длины АВ (точка D), а на большей (АВ), от точки В отложим длину стороны ВС (точка Е). Таким образом у нас получится два равнобедренных (подобных) треугольника с общей вершиной В (треугольники ABD и EBC), причем AD параллельно ЕС и четырехугольник AECD является равнобедренной трапецией. АС является в ней диагональю. Проведем в трапеции вторую диагональ ED. Теперь легко доказать, что точка пересечения диагоналей (О) равнобедренной трапеции лежит ближе к меньшему основанию, чем их середины (совпадает с серединой только в случае слияния оснований). Проведем из угла В прямую через точку пересечения О. Она будет высотой в равнобедренных треугольниках и трапеции. Отсюда легко доказать, что угол ВОМ тупой, а, следовательно, угол ВМС - острый.
Доказательство верно для любого угла В (меньше 180 градусов).
Совпадает ли этот вариант с одним из ваших? Я думаю, что вариантов доказательств можно придумать больше 3-х. Зависит от дополнительных построений и промежуточных лемм.

Мне нравится формула MB*MC*cos (угл BMC) = (AB^2 - BC^2) / 4, откуда угол BMC - острый, можете считать эту формулу следствием теоремы косинусов.

опускаем перпендикуляр ВК на прямую АС. Имеем:
KC^2=BC^2-BK^2
AK^2=AB^2-BK^2, Так как
AB>BC, то AK>KC, из чего следует, что АМ меньше AK ---->угол АМВ больше 90o, а угол ВМС - острый

опустим из вершины С перпендикуляр CN на медиану ВМ. в прямоугольном треугольнике CNM угол NMC равный углу ВМС меньше 90 градусов, т. е. острый. чтд.