Чем дифференциал отличается от бесконечно малой функции (или очень маленькой положительной величины)?

1. Всем. Дифференциал это линейная часть приращения.
2. Пределы нужны, чтобы строить новые математические объекты.

Ничем. Дифференциал - это разновидность функций

математика – самый неточный инструмент в руках человека
доказательство этому – матанализ
это когда говорится одно, рисуется графиками другое, а утверждается третье

ниже даю обьяснение для, например, функций типа y=kx^2/2 и y’=kx
для них приращение меньше производной на величину 0,5k, дифференциал меньше производной на величину k
при этом, дифференциал БУДУЩЕГО значения х+1 производной равен производной в точке х
примечательно, что производные и дифференциалы непригодны для построения графиков
зачем они нужны - неизвестно

ГЛАВНОЕ =
1\ матанализ утверждает, что теорема Пифагора неверна, что на самом деле гипотенуза 3-угольника равна катету: y’=kx
при этом гипотенуза является ХАРАКТЕРИСТИКОЙ скорости (но не скоростью!) изменения функции
саму скорость изменения функции матанализ отрицает, и этот момент особо вписан в справочники
(хотя эта скорость существует и равна V=y’+∆х=y’-0,5k=kx-0,5k, но признание V=kx-0,5k опровергает весь матанализ)
то есть, ∆х=-0,5k
2\ бесконечно малые числа не существуют, а при попытке прояснить этот момент математики впадают в истерику
3\ ПРЕДЕЛЫ ПОНАДОБИЛИСЬ в помощь бесконечно малым числам, чтобы путем «доказательства» значение ∆х=-0,5k приравнять нулю
или, другими словами, пределы это попытка спасти матанализ
а в результате гипотенуза y’=V=kx

и тогда вся суть матанализа – универсальная простейшая формула, не знающая исключений:
y→y'→C→0→C→y'→y
точнее, жонглирование коэффициентами и степенями функции
то есть, матанализ можно заменить простой таблицей производных и интегралов, но на практике их использование невозможно

1. Дифференциал при приближении к х0 - это бесконечно малая величина, но не какая попало. В "физической" интерпретации дифференциал - это приращение, обусловленное вкладом мгновенной скорости изменения функции в точке х0.

2. Пределы - это инструмент для изучения поведения функции (или последовательности) при приближении к некоторой точке (или при неограниченном возрастании-убывании аргумента). Пределы могут использоваться как сами по себе (например, изучить поведение в точках разрыва) так и для построения новых математических конструкций. Например, понятие производной или интеграла очень аккуратно строится как раз на идее предельного перехода.

Тем же чем косогор от бесконечно малого холмика.
...в этих терминах

Разная скорость стремления к нулю. Пределы нужны, чтобы находить результирующее число из математических комбинаций такого вида: www.mathprofi.ru/predely_primery_reshenii.html