Можно ли стать нормальным программистом, если плохо знаешь математику?

Софт очень разнообразный и касается буквально всех сфер деятельности, поэтому и погромисты найдут себя везде и всюду. Нет геометрии в билинговых задачах и в UI/UX и в куче прочих приложений. Вопрос тут другой, школьный уровень - своего рода сертификация возможностей человека, впрочем, как и следующие стадии (бакалавриат и магистр).

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит (с) М. В. Ломоносов

Можно, в процессе выучишь

А с логикой как? Математика тем и хороша, что по мимо вычислений развивает логическое мышление. Не обязательно хорошо помнить косинус и теорему Пифогора, чтоб правильно мыслить. Для программиста важно уметь разобраться в том, с чем имеет дело.

Смотря что понимать под нормальным

Можно

Программирование это прикладное применение математики.

Подтягивай математику пока есть время, тогда сможешь пойти
Могу посоветовать скачать старые учебники, выпуска 60-90 годов прошлого века, и учиться по ним. Там пишут понятно, не как в современных

Можно. Не во всех направлениях программирования нужна математика. Но вот логическое и абстрактное мышление у Вас должны быть достаточно развиты. Это важнее, чем знание математики.

Можно, программирование по мнению одного известного мне преподавателя (иностранец) - это скорее похоже на язык, на лингвистику, чем на математику. Это больше логика.
По поводу как вообще начать что-то изучать в программировании рекомендую книгу:
https://www.litres.ru/aleksandr-vankov/kak-stat-programmistom-s-nulya/

Можно, сейчас реальной математики там 5-10%, особенно во фронт-енде и тд