Около круга радиуса 8 см описана прямоугольная трапеция, меньшая из сторон которой равна 12 см.

Поскольку трапеция прямоугольная, то одна из боковых сторон ее равна 2*r. Обозначим противоположную ей боковую сторону трапеции через a, а большее основание трапеции - через b.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны. Следовательно,
2*r + a = b + 3*r/2, откуда b - a = 2*r - 3*r/2 = r/2.

Поскольку стороны с длинами 2*r и 3*r/2 образуют прямой угол, то по теореме Пифагора длина диагонали трапеции, соединяющей концы этих сторон, равна
sqrt ((2*r)^2 + (3*r/2)^2) = sqrt (4*r^2 + (9/4)*r^2) = sqrt ((25/4)*r^2) = (5/2)*r. Угол треугольника, образованного катетами 2*r и 3*r/2, прилежащий к катету длиной 2*r, равен
arctg (3*r/2)/(2*r) = arctg (3/4).

По теореме косинусов
((5/2)*r)^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos (п/2 - arctg (3/4)) = (b - r/2)^2 + b^2 - 2*(b - r/2)*b*cos arcctg (3/4),
(25/4)*r^2 = b^2 - b*r + (1/4)*r^2 + b^2 - 2*(b - r/2)*b*(3/5),
(25/4)*r^2 = b^2 - b*r + (1/4)*r^2 + b^2 - (6/5)*b^2 + (3/5)*r*b,
(4/5)*b^2 - (2/5)*r*b - 6*r^2 = 0,
D = (4/25)*r^2 + 4*(4/5)*6*r^2 = (4/25)*r^2 + (96/5)*r^2 = (484/25)*r^2 = (22*r/5)^2,
b1 = ((2*r/5) - (22*r/5))/(2*(4/5)) < 0 - не удовлетворяет смыслу задачи,
b2 = ((2*r/5) + (22*r/5))/(2*(4/5)) = (24*r/5)/(8/5) = 3*r.

Следовательно, b = 3*r, и искомая площадь, равная произведению средней линии трапеции на высоту, равна
S = ((3*r + 3*r/2)/2)*(2*r) = (9/2)*r^2 (кв. ед.).

Ответ: (9/2)*r^2 кв. ед.

Если радиус окружности равен 8, то сторона трапеции, перпендикулярная основаниям равна 16.
Противоположная ей сторона a больше или равна 16. Значит, 12 - меньшее основание
Пусть разность оснований равна d
12+(12+d)=16+a, a-d=8 - по свойству сторон описанного четырехугольника
С другой стороны: 16^2+d^2=a^2
256=(a-d)(a+d)=8(a+d), a+d=32
2a=40, a=20, d=12
b=24
S=(12+24)*16/2=288