как увеличить количество подтягиваний с 10 до 15

Не нужно себя перегружать. Это твоя норма. Иначе после 40 будут проблемы со здоровьем.

Вы должны найти свою схему.
Я делал один подход каждый день, не до максимума. И каждую неделю добавлял одно повторение.

Прокачкой мышц спины

Вес больше бери, повесь гири килограмм 10-15 и так недели две-три

1. Делать "лесенку" (загугли что это). Достаточно эффективно.
2. Подтягиваться каждые 30-60 минут на максимум в течении дня. Этот способ мне помог с 15 увеличить до 24 чистых подтягиваний за месяц. Т. е. домой повесил на стену турник и проходя мимо него каждый раз подтягивался сколько мог за 1 подход. К концу месяца уже мог 24 раза делать.
3. Повесить отягощение, например рюкзак с баклахами воды, с ним например буедшь делать раза 4, затем 5-6, сняв его через неделю уже будешь делать больше 10 раз, т. к. тело привыкло к большему весу.

Если есть цель повысить количество, то можно начать цикл с 2 подходов по 5 повторов. Через 1 тренировку добавляешь по 1 повтору. Так можно хоть каждый день подтягиваться, можно 2 через 1. А можно просто до отказа делать подход утром и подход вечером. Оба метода действуют. Лично проверял.

Если ты всегда подтягиваешься в отказ, попробуй от обратного, не закисляйся, делай по 8-9 некоторое время. И да, лесенка - королева подтягиваний