Объясните, что значит знак дифференциала в интеграле

5
agressive0207 20.02.2010 18:36:43 Сообщить о нарушении История изменений
Ещё Остроградский писал: "Кажется, я и Гаусс - единственные люди на свете, кто понимают, что такое дифференциал". В самом деле, дифференциал - не просто малое приращение функции. Сам по себе дифференциал, если написать его на бумаге, ничего не значит. Смысл появляется тогда, когда проведена зависимость между двумя и более дифференциалами. Это связь иного порядка между функциями, т. е. это некий закон согласованного изменения функций, причём численно не выражающийся в полной мере.

К вопросу. Под знак бесконечной суммы ставится функция, помноженная на дифференциал своего аргумента. Что такое интеграл? Это не просто сумма. Это тоже функция (хоть и очевидно, но мне кажется требуется акцент на этом) . Эта функция отражает зависимость высшего порядка; переходя к графическому смыслу скажем, что это закон, по которому (опять же, в зависимости от значения прежнего аргумента) изменяется площадь фигуры, заключённой между графиком функции и осью аргумента. Понимание того, что представляет собой эта функция, невозможно без признания необходимости связи её с дифференциалом исходной функции. И почему происходит именно умножение на дифференциал? Всё от того, что описывается связь более высокого порядка. Это можно получить, записав производную функции в виде отношения её дифференциала к дифференциалу её аргумента, затем перенести дифференциал аргумента в другую часть получившегося уравнения. Теперь поставим знаки интегралов в обеих частях уравнения. Левая часть (интеграл дифференциала функции) равна функции. Кажется просто. Но то, как мы записываем производную (отношение дифференциалов) - это и есть та связь, о которой я говорил в самом начале.

Я ответил не технически, потому что догадываюсь, что человек, задавший этот вопрос понимает графический смысл интеграла. И почему-то большинство ответов не идут глубже разъяснений просто площади фигуры или суммы. Я сделал акцент именно на интуитивном понимании дифференциала и интеграла, потому что мне показалось, именно этого и не хватает человеку, что задал этот вопрос.

Спасибо.

Грубо говоря, это базовая переменная "внизу", на горизонтальной оси. Там не обязательно будет икс, там могут быть, скажем, годы. Когда берёшь интеграл, то меняешь и то, что под дифференциалом, если бы ты видела, как при этом меняется график - это фантастическое может быть зрелище. И с точки зрения графического представления, ты так меняешь базовую переменную под знаком дифференциала, чтобы получить фигуру попроще, лучше всего - прямоугольник. При этом на горизонтальной оси будет уже вовсе не икс, а какая-то наверченная хрень.
Надеюсь, понятно.