Применение интеграла к физическим задачам.

РЕШЕНИЕ:
1. Линейная плотность проволоки: σ = М/(πR).
2. Угловая скорость вращения полукольца: ω = 2пN/60.
3. Пусть кольцо вращается вокруг оси ОY и середина его диаметра лежит в точке (0; 0), тогда «уравнение» линии кольца есть: х² + у² = R², а радиус вращения точки полукольца, отвечающей «высоте» у, равен r = x = √(R² – y²).
4. Элемент кольца dl наклонён к оси ОY под углом α = [tgα = y/x] = arctg(y/x), так что масса dm этого элемента равна: dm = σ*dl* = σ*dy/cosα = σ*dy/cos(arctg(y/x)).
5. Из формул тригонометрии имеем:
cos(arctg(y/x)) = x/√(x² + y²) = r/R.
Тогда:
6. dm = σ*dl* = σ*dy/cos(arctg(y/x)) = σ*dy*R/r
7. Eкин =2 ∫½ ω²r²*dm [по у от 0 до +R] = [интегрируем по верхней половине полукруга и удваиваем результат] = ω²∫r²*σ*dy*R/r [по у от 0 до +R] = ω²*σ*∫R*r*dy [по у от 0 до +R] = ω²*σ*R*∫√(R² – y²)*dy [по у от 0 до +R] = ω²*σ*R*{ ½ y*√(R² – y²) + ½ R²*arcsin(y/R)}|[по у от 0 до +R] = ω²*σ*R*{0 + пR²/4 – R²/2 – 0} = 0,5*ω²*σ*R³*{п/2 – 1}.
8. Подставив ω = 2пN/60 и σ = М/(πR), получим: Екин = 0,5ω²*σ*R³*{п/2 – 1} = 0,5(2пN/60)²* М/(πR)*R³*{п/2 – 1} = 0,5*4пN²/(3600)* М*R²*{п/2 – 1} = 2пN²*М*R²*{п/2 – 1}/3600.
9.Итак, для этой рамки получили:
Екин = пN²*М*R²*{п/2 – 1}/1800.
Привожу табличный интеграл для пункта 7.