Решите систему уравнений

x^2 y^2 + 2 x y = 3
(x + y)^2 = x + y
-
Рассмотрим первое уравнение:
x^2 y^2 + 2 x y = 3
добавим к обеим частям равенства 1:
(x y)^2 + 2 (x y) + 1 = 4
слева сворачиваем в полный квадрат:
(x y + 1)^2 = 4
избавляемся от квадрата:
x y + 1 = ± 2
избавляемся слева от 1:
x y = - 1 ± 2
Получаем два возможных варианта:
1) x y = - 3
2) x y = 1
-
Рассмотрим второе уравнение:
(x + y)^2 = x + y
переносим все в левую часть равенства:
(x + y)^2 - (x + y) = 0
выносим (x + y) за скобки:
(x + y) (x + y - 1) = 0
Опять получаем два возможных варианта:
1) x + y = 0
2) x + y = 1
-
В итоге получаем совокупность четырех систем (в ответ идут решения всех систем):
(каждую из них, наверное, и сами решите)
А)
x y = - 3
x + y = 0
Решения:
( - √3, √3 )
( √3, - √3 )
-
Б)
x y = - 3
x + y = 1
Решения:
( [1 - √(13)] / 2, [1 + √(13)] / 2 )
( [1 + √(13)] / 2, [1 - √(13)] / 2 )
-
В)
x y = 1
x + y = 0
Решений (в действительных числах) нет.
-
Г)
x y = 1
x + y = 1
Решений (в действительных числах) нет.
-
Ответ:
( - √3, √3 )
( √3, - √3 )
( [1 - √(13)] / 2, [1 + √(13)] / 2 )
( [1 + √(13)] / 2, [1 - √(13)] / 2 )