Вычислить двойной интеграл

Можно разбить область по горизонтали на две составляющих, найти площадь каждой составляющей по отдельности и потом сложить площади.
Сперва надо найти функции прямых, которыми ограничена область.
Первая прямая y = 2
Вторая прямая y = x/2
Третья прямая y = (2*x)/S

Первый интеграл от 0 до 4 по x
Второй интеграл от 4 до S по x

***

В первом интеграле разобьем двойной интеграл на однократные интегралы.
Зафиксируем x, получаем
ʃ x*dx ʃy*dy
x=4 y = x/2 (первая функция - это верхний предел интегрирования для первого однократного интеграла интеграла по x. Вторая функция - это верхний предел интегрирования для второго однократного интеграла интеграла по y)
x = 0 y = (2*x)/S (первая функция - это нижний предел интегрирования для первого однократного интеграла интеграла по x. Вторая функция - это нижний предел интегрирования для второго однократного интеграла интеграла по y)
Дальше интегрируется второй интеграл по y, получается функция y*y/2 с верхним пределом x/2 и нижним (2*x)/S. Используется формула Ньютона-Лейбница. Получается (x*x)/8 - (2*x*x)/(S*S)
Затем интегрируется первый однократный интеграл. При подстановке получается
ʃ ( (x*x*x)/8 - (2*x*x*x)/(S*S) ) dx
( (x*x*x*x)/32 - (x*x*x*x)/(2*S*S) ) с верхним пределом 4 и нижним 0. Применяется формула Ньютона-Лейбница, получается 8 - 128/(S*S)
Это площадь первой части фигуры.

***

Во втором интеграле разобьем двойной интеграл на однократные интегралы.
Зафиксируем x, получаем
ʃ x*dx ʃy*dy
x=S y = (2*x)/S (первая функция - это верхний предел интегрирования для первого однократного интеграла интеграла по dx. Вторая функция - это верхний предел интегрирования для второго однократного интеграла интеграла по dy)
x =4 y = 2 (первая функция - это нижний предел интегрирования для первого однократного интеграла интеграла по dx. Вторая функция - это нижний предел интегрирования для второго однократного интеграла интеграла по dy)
Дальше интегрируется второй интеграл по y, получается функция y*y/2 с верхним пределом 2 и нижним (2*x)/S. Используется формула Ньютона-Лейбница. Получается 2 - (2*x*x)/(S*S)
Затем интегрируется первый однократный интеграл. При подстановке получается
ʃ (2*x - (2*x*x*x)/(S*S)) dx
(x*x - (x*x*x*x)/(2*S*S)) с верхним пределом S и нижним 4. Применяется формула Ньютона-Лейбница, получается S*S - (S*S)/2 - 16 + 128/(S*S).
Это площадь второй части фигуры.

***

Суммируется и получается искомая площадь 8 - 128/(S*S) + S*S - (S*S)/2 - 16 + 128/(S*S).
Приводятся к общему знаменателю....

Ненавижу эту математику. Ответа не знаю :( Но желаю тебе её решить!