Интегралы и дифференцированные уравнения ...

Из линейности следует, что общее решение - это сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного уравнения.
1) Однородное уравнение.
y'' - 11 y' + 28 y = 0
Ищем решение в виде:
y = exp(k x)
Подставляем в уравнение:
exp(k x)'' - 11 exp(k x)' + 28 exp(k x) = 0
[k^2 - 11 k + 28] exp(k x) = 0
k^2 - 11 k + 28 = 0
k = 4, k = 7
Нашли два решения:
y = exp(4 x)
y = exp(7 x)
Общее решение однородного уравнения:
y = C1 exp(4 x) + C2 exp(7 x)
2) Частное решение ищем в виде:
y = a x^2 + b x + c
Подставляем в уравнение:
(a x^2 + b x + c)'' - 11 (a x^2 + b x + c)' + 28 (a x^2 + b x + c) = 112 x^2 - 32 x + 210
2 a - 11 (2 a x + b) + 28 (a x^2 + b x + c) = 112 x^2 - 32 x + 210
28 a x^2 + 2 (14 b - 11 a) x + (2 a - 11 b + 28 c) = 112 x^2 - 32 x + 210
Получаем систему уравнений для a, b, c:
28 a = 112
11 a - 14 b = 16
2 a - 11 b + 28 c = 210
Решение:
a = 4, b = 2, c = 8
Тогда частное решение:
4 x^2 + 2 x + 8
3) Общее решение исходного уравнения:
y = C1 exp(4 x) + C2 exp(7 x) + 4 x^2 + 2 x + 8