Решить систему 3-мя способами

а)б)в)

а) Решение с использованием обратной матрицы:

Сначала записываем матрицу коэффициентов системы уравнений:

A = | 3 1 -1 |
|-3 3 2 |
| 5 2 8 |

и вектор правых частей:

B = | 10 |
| 8 |
| -1 |

Затем находим обратную матрицу A^(-1):

A^(-1) = | -1/11 3/11 1/11 |
| 7/22 -1/22 -3/22 |
| -1/22 1/22 3/22 |

Умножаем обратную матрицу A^(-1) на вектор правых частей B:

X = A^(-1) * B = | -1/11 3/11 1/11 | * | 10 | = | 1 |
| 7/22 -1/22 -3/22 | | 8 | | 2 |
| -1/22 1/22 3/22 | | -1 | | -1/2 |

Таким образом, решение системы уравнений методом обратной матрицы:

x1 = 1
x2 = 2
x3 = -1/2

б) Решение с использованием правил Крамера:

Для решения системы методом Крамера, сначала находим определитель матрицы коэффициентов A (det(A)):

det(A) = | 3 1 -1 |
|-3 3 2 |
| 5 2 8 |
= 3 * (3 * 8 - 2 * 2) - 1 * (-3 * 8 - 2 * 5) - (-1) * (-3 * 2 - 3 * 5)
= 3 * (24 - 4) - 1 * (-24 - 10) - (-1) * (-6 - 15)
= 3 * 20 + 34 + 21
= 60 + 34 + 21
= 115
Затем находим определители матриц, заменяя столбцы матрицы A на вектор правых частей B:

det(A1) = | 10 1 -1 |
| 8 3 2 |
| -1 2 8 |
= 10 * (3 * 8 - 2 * 2) - 1 * (8 * 8 - 2 * (-1)) - (-1) * (8 * 2 - 3 * (-1))
= 10 * (24 - 4) - 1 * (64 + 2) - (-1) * (16 + 3)
= 10 * 20 - 1 * 66 - (-1) * 19
= 200 - 66 + 19
= 153
det(A2) = | 3 10 -1 |
|-3 8 2 |
| 5 -1 8 |
= 3 * (8 * 8 - 2 * (-1)) - (-3) * (10 * 8 - 2 * 5) - 5 * (-1 * 8 - 3 * 5)
= 3 * (64 + 2) - (-3) * (80 - 10) - 5 * (-8 - 15)
= 3 * 66 + 3 * 70 - 5 * (-23)
= 198 + 210 + 115
= 523
= 3 * (8 * 8 - 2 * (-1)) - (-3) * (10 * 8 - 2 * 5) - 5 * (-1 * 8 - 3 * 5)
= 3 * (64 + 2) - (-3) * (80 - 10) - 5 * (-8 - 15)
= 3 * 66 + 3 * 70 - 5 * (-23)
= 198 + 210 + 115
= 523
det(A3) = | 3 1 10 |
|-3 3 8 |
| 5 2 -1 |
= 3 * (3 * (-1) - 8 * 2) - (-3) * (3 * (-1) - 5 * 2) - 5 * (3 * 8 - 3 * (-1))
= 3 * (-3 - 16) - (-3) * (-3 - 10) - 5 * (24 + 3)
= 3 * (-19) - (-3) * (-13) - 5 * 27
= -57 + 39 - 135
= -153
Теперь решения системы получаются делением определителей на определитель матрицы коэффициентов:

x1 = det(A1) / det(A) = 153 / 115 ≈ 1.3304
x2 = det(A2) / det(A) = 523 / 115 ≈ 4.5391
x3 = det(A3) / det(A) = -153 / 115 ≈ -1.3304

в) Решение с использованием метода Гаусса:

Приведем систему уравнений к расширенной матрице [A|B]:

| 3 1 -1 | | x1 | | 10 |
|-3 3 2 | | x2 | = | 8 |
| 5 2 8 | | x3 | | -1 |

Применим элементарные преобразования для приведения матрицы к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и вторую строку (R1 ↔ R2):
| -3 3 2 | | x2 | | 8 |
| 3 1 -1 | | x1 | = | 10 |
| 5 2 8 | | x3 | | -1 |

Умножим первую строку на 1/(-3) (-3R1):
| 1 -1/3 -2/3 | | x2 | | -8/3 |
| 3 1 -1 | | x1 | = | 10 |
| 5 2 8 | | x