Производная - это скорость изменения функции. Если функция - это расстояние от времени, то производная - это скорость от времени. Ваше определение почти хорошее, только уточнение - "изменение функции за единичный отрезок, где в заданной точки провели касательную" - это дифференциал, и не за единичный, а за бесконечно малый А дифференциал поделённый на изменение x - это уже производная.
Вот например y(x)=x^2. Тогда дифференциал Δy=y(x+Δx)-y(x)=(x+Δx)^2-x^2=2xΔx+Δx^2; cкорость изменения Δy/Δx=2x+Δx; но если Δx настолько мал, что несравним с x, то это будет скорость изменения dy/dx - производная.
Теперь интегрирование: если функция - это скорость, то интеграл от начала функции до какого-то времени - это пройденный путь.
Примеры:
падающее свободно тело увеличивает скорость за 1 секунду на 9,8 м/c. То есть, ускорение g=9.8 м/с / с = 9.8 м/с^2.
Значит, скорость от времени v(t)=gt. Можно нарисовать на графике.
Тогда расстояние, пройденное через время T - [интеграл от 0 до Т] gt dt=[0 T]g*t^2 / 2 = [g*T^2 / 2 - g*0^2 / 2]= gT^2 / 2.
Можно посмотреть площадь, которую ограничивает функция v(t). Это будет треугольник - длина основания AB=T, высота H=gT; площадь S=AB*H/2=gT*T/2=gT^2 / 2. Ура!
Так вот, это работает всегда, даже с функциями, где такие простые формулы, как для треугольника, не помогут.