можно ли выразить произвольную прямую/кривую только одной функцией?

Отображение то да, но есть такие функции, что сразу не поймешь

Вот, например, кривая Пеано … заполняет вроде всю
плоскость :)

http://sernam.ru/book_fract.php?id=8

Или фрактал … красивые картинки :)

что значит "выразить"? По существу график и фонкция - одно и то же.

выразить как конечное выражение через стандартные типа синуса-косинуса-многочлена экспоненты? Конечно, нельзя. Функций, даже
"хороших" бесконечно больше, чем всех комбинаций из известных функций.

через бесконечные ряды - запросто. Причем кучей разных способов.

Не всякую функцию можно явно выразить, вообще говоря. Так что разберитесь с тем, что такое функция, тогда поговорим.

можно с любой наперед заданной точностью через ряд Фурье, доказательство в соответствующей статье, нет нужды ее копировать

Функция - это закон, по которому элементам одного множества X (области определения) ставятся в соответствие элементы другого множества Y (области значений) . Причем каждому элементы x из X ставится в соответствие ЕДИНСТВЕННЫЙ элемент y из Y. (Кстати, обратное неверно, например, функция y = x^2, если x = 1, то y = 1 (и только так) , но зато если y = 1, то x = 1 или x = -1). Поэтому рассмотрим окружность на плоскости - типичная кривая. Но как бы вы не выбирали систему координат одному x будет соответствовать два значения y, поэтому одной функцией такую кривую не опишешь. Такие кривые описывают либо несколькими функциями вида y = f(x), либо несколькими функциями параметрически: y = y(t), x = x(t).