Подготовка к бегу

Начнем с того, что на 100 м и на 3 км РАЗНЫЕ тренировки.
На 100: ускорения, беговые, бег в гору, бег прыжками, бег с весом, приседания и т. п.
На 3 км: кроссы 5-10 км, интервалы 100/200, бег в гору и т. п.
Для того и другого рекомендую график: день скоростной тренировки, день на выносливость и день отдыха.
Делайте контрольные пробежки и корректируйте программу по их результатам.
.
Ну, а в реале... Сдать ГТО способен любой среднеразвитый человек. Они очень слабые.

По поводу времени года нужно во-первых, подобрать правильную обувь, учитывающую зимнюю погоду и поверхность для бега, во-вторых, правильно дышать - при дыхании носом холодный воздух (что актуально для зимы) успевает нагреться, пыль оседает на ворсинках, тем самым воздух обеззараживается.
Но при дыхании ртом в лёгкие попадает больше кислорода с меньшим усилием, что в условиях острого кислородного голодания является необходимым. Поэтому для меня оптимальнее дышать смешанным способом ( вдох через нос, выдох ртом).
Также советую разминаться перед бегом. При беге на скорость нужно задействовать все резервы организма, чтобы показать его максимальные скоростные возможности, то есть развивать свою выносливость. При длительной дистанции, наоборот, настроить организм на долгий режим работы и экономию расхода энергии и кислорода. Главной твоей задачей является развитие дыхательной и сердечнососудистой систем организма. Также не менее важным является правильное питание употребляй много клетчатки и белковой пищи, и поменьше жиров.
Упражнения для развития выносливости можешь прочитать здесь:
http://www.professionalsport.ru/blog/2015/09/16/tehnika-bega-na-vynoslivost