Как увеличить подтягивания от 3 до 15 раз?

Я тебе посоветую идти в зал, и обязательно хотя бы 1-2 раза в неделю качать спину.
Из своего опыта пишу:

Не умел подтягиваться, ни разу, но решил пойти в зал. Делал различные тяги: верхнего блока, за голову, к животу. Тяга гантели в наклоне и штанги, даже подтягивания. Но так как ты ещё не умеешь полноценно подтягиваться, то делай упражнения на спину.

За полгода с 0 научился 6 раз подтягиваться, а за год с 6 до 15. Удачи.

начни в облегченном режиме или в зале делай тяги, исключи отказы, и технику в трубе найди, это не самое простое движение по координации мускулатуры. То что ты представил — полный тухес, прогресса не жди

С весом занимайся, с задержками, с выпадами. И ты дрищ, вообще. 60 кг- это что? Такие как ты должны 100 раз спокойно свою тушу на турнике поднимать.

После чистых" тяни с рывком до отказа, каждую неделю прибавдяй 1 чистый раз - типа "ниипёт!" Занимайся через день, без пропусков. Можно "лесенку" делать - тоже продуктивно. Летом много копай лопатой - тоже + в карму будет - спину прокачаешь.

Одними подтягиваниями ты спину не натренируешь. Начни тренить с железом. Постепенно укрепятся мышцы. А когда начнешь раз 8-10 подтягиваться то вешай вес на себя и подтягивайся с доп весом раз на 5-6